音乐与数学
内容简介
《音乐与数学》是作者在北京大学开设通识教育核心课程“音乐与数学”的讲义基础上编写而成的。本书通过介绍音乐与数学（也包括一些声学方面的知识）之间密不可分、却又往往不为人知的关系，探讨音乐这门抽象的艺术与数学和自然科学之间的互动，比较两者的思想方法之异同，打通文理界限，提高学生的艺术修养和分析能力，达到提高学生综合素质的目的。因为是面向全校各个专业方向的本科生，所以在课程设计方面并不要求读者具有音乐理论方面的先修知识，而是从零开始介绍基础乐理。在数学方面，只假定读者具有高中数学的知识水平。对于书中需要用到的几何、组合计数等方面的知识都尽量做了比较详细、直观的介绍。为了既保持叙述的连贯性，又保持数学逻辑的完整性，我们把作为现代音乐理论基础的集合理论及其相关的基础知识集中起来作为附录A，同时把音乐变换理论所需要的群论工具，单独写了一个附录B放在书的末尾，专门介绍群论的基本概念和与本书内容相关的定理和方法等，以供读者随时查询。
全书内容大致可以分成三个部分。第部分包括前三章，从介绍音乐的一些基本知识开始，进而通过弦的振动方程介绍泛音列的生成，梅森定律等，第三章介绍律学。这部分内容是介绍音乐与数学之间关系时总会讲到的比较传统的内容。第四章介绍了一些重要的音乐概念：调式、音阶、和弦等，基本上属于音乐基础理论，并没有涉及数学。然而这一章是承前启后的，它为后面的章节打下了基础。第五～八章属于第三部分，分别介绍了如何用数学方法来分析和理解音乐的三大要素：旋律、节奏、和声，以及非确定性在音乐理论和实践中的作用。书中安排了一些习题，其中一部分是帮助读者加深理解相关知识的练习，另一部分提供了对正文内容的进一步推广，还有一些则是提出了引发读者进一步思考的问题。
《音乐与数学》可供高等学校素质教育、通识教育同类课程的教材或者教学参考用书, 也可供音乐、数学等领域的研究者参考。对于感兴趣的广大读者而言，也可以把本书作为音乐与数学方面的入门导引。
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作者简介
王杰，北京大学数学科学学院教授，博士生导师。曾任北京大学副校长、国家自然科学基金委员会常务副主任，现任中国密码学会理事长，中国数学会组合数学与图论专业委员会副主任。曾获霍英东青年教师奖、政府特殊津贴。
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目录
第一章音乐基础知识............................................1
x1.1 声音...................................................1
x1.2 乐音体系................................................6
x1.3 唱名...................................................11
x1.4 音乐的坐标系||五线谱....................................13
x1.5 音程...................................................16
x1.6 协和音程与不协和音程.....................................20
第二章弦的振动................................................24
x2.1 一维振动方程............................................24
x2.2 一维振动方程的解.........................................25
x2.3 振动模态与泛音...........................................27
x2.4 达朗贝尔行波解...........................................29
x2.5 傅里叶级数与拨弦振动.....................................31
第三章乐律||乐音体系的生成...................................38
x3.1 三分损益法..............................................38
x3.2 毕达哥拉斯五度相生律.....................................41
x3.3 纯律与中庸律............................................44
x3.4 平均律..................................................49
x3.5 音分...................................................54
x3.6 连分数..................................................56
第四章调式、音阶与和弦.........................................61
x4.1 调式与音阶..............................................61
x4.2 和弦...................................................65
x4.3 调式中的和弦............................................68
第五章音乐与对称..............................................76
x5.1 等价关系与音类...........................................76
x5.2 旋律的移调变换...........................................81
viii 目录
x5.3 旋律的逆行与倒影.........................................86
x5.4 旋律的变换群............................................89
x5.5 十二音技术..............................................95
x5.6 音列的计数..............................................101
第六章节奏...................................................109
x6.1 固定节奏型..............................................109
x6.2 节奏型的影子与轮廓.......................................113
x6.3 比约克伦德算法与欧几里得节奏..............................116
x6.4 相移与《拍掌音乐》........................................118
第七章和弦与音网..............................................127
x7.1 和弦的几何..............................................127
x7.2 音阶...................................................136
x7.3 三和弦之间的变换.........................................142
x7.4 音网...................................................146
x7.5 新黎曼群................................................153
第八章音乐与随机性............................................160
x8.1 音乐骰子游戏............................................160
x8.2 随机音乐................................................166
x8.3 马尔科夫链..............................................170
x8.4 有色彩的噪声, 1=f 音乐.....................................174
附录A 集合与映射..............................................180
附录B 与书中内容有关的群论知识..................................185
参考文献.......................................................195
名词索引.......................................................200
人名索引.......................................................206
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读书文摘
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