高等微积分（第3版修订版）

第1 章 基本概念 　　1

1 数的概念 　　1

2 数的连续性 　　2

3 数的集合 上确界 下确界　　 3

4 数列的极限 　　5

5 区间套法 　　9

6 收敛条件与柯西判别法　　 11

7 聚点 　　13

8 函数 　　16

9 关于连续变量的极限　　 20

10 连续函数 　　23

11 连续函数的性质　　 26

12 区域 边界 　　28

习题 　　32

第2 章 微分　　 34

13 微分与导函数　　 34

14 微分法则 　　36

15 复合函数的微分　　 38

16 反函数的微分法则 　　41

17 指数函数和对数函数 　　45

18 导函数的性质 　　47

19 高阶微分法则 　　51

20 凸函数 　　52

21 偏微分 　　53

22 可微性与全微分　　 55

23 微分的顺序 　　56

24 高阶全微分 　　59

25 泰勒公式 　　61

26 极大极小 　　67

27 切线和曲率 　　74

习题 　　85

第3 章 积分　　 88

28 古代求积方法　　 88

29 微分发明之后的求积方法　　 90

30 定积分 　　93

31 定积分的性质　　 99

32 积分函数, 原函数 　　102

33 积分定义扩展(广义积分)　　 106

34 积分变量的变换 　　114

35 乘积的积分(分部积分或分式积分)　　 116

36 勒让德球函数 　　123

37 不定积分计算 　　126

38 定积分的近似计算 　　130

39 有界变差函数 　　133

40 曲线的长度 　　136

41 线积分 　　141

习题 　　144

第4 章 无穷级数与一致收敛 　　148

42 无穷级数　　 148

43 绝对收敛和条件收敛 　　149

44 绝对收敛的判别法 　　153

45 条件收敛的判别法 　　157

46 一致收敛 　　159

47 无穷级数的微分和积分　　 162

48 关于连续变量的一致收敛, 积分符号下的微分和积分　　 167

49 二重数列 　　177

50 二重级数 　　179

51 无穷积 　　184

52 幂级数 　　188

53 指数函数和三角函数 　　196

54 指数函数和三角函数的关系,对数函数和反三角函数 　　201

习题 　　207

第5 章 解析函数及初等函数 　　209

55 解析函数 　　209

56 积分 　　212

57 柯西积分定理 　　217

58 柯西积分公式, 解析函数的泰勒展开　　 222

59 解析函数的孤立奇点 　　226

60 z = 1 处的解析函数 　　230

61 整函数　　 231

62 定积分计算(实变量) 　　232

63 解析延拓　　 238

64 指数函数和三角函数　　 241

65 对数ln z 和一般幂z? 　　 249

66 有理函数的积分理论 　　254

67 二次平方根的不定积分　　 258

68 ? 函数　　 260

69 斯特林公式 　　270

习题　　 276

第6 章 傅里叶展开　　 282

70 傅里叶级数 　　282

71 正交函数系　　 283

72 任意函数系的正交化 　　284

73 正交函数列表示的傅里叶展开　　 286

74 傅里叶级数累加平均求和法(费耶定理) 　　289

75 光滑周期函数的傅里叶展开 　　291

76 非连续函数的情况 　　292

77 傅里叶级数的例子 　　295

78 魏尔斯特拉斯定理　　 298

79 积分第二中值定理 　　301

80 关于傅里叶级数的狄利克雷{若尔当条件 　　303

81 傅里叶积分公式 　　306

习题 　　308

第7 章 微分续篇(隐函数)　　 309

82 隐函数　　 309

83 反函数　　 314

84 映射 　　317

85 对解析函数的应用　　 321

86 曲线方程 　　326

87 曲面方程 　　331

88 包络线 　　334

89 隐函数的极值 　　336

习题 　　339

第8 章 多变量积分 　　342

90 二元以上的定积分 　　342

91 面积的定义和体积的定义　　343

92 一般区域上的积分　　 348

93 化简成一元积分 　　351

94 积分意义的扩展(广义积分) 　　357

95 多变量定积分表示的函数 　　364

96 变量变换 　　366

97 曲面面积 　　377

98 曲线坐标(体积、曲面积和弧长等的变形)　　 384

99 正交坐标　　 391

100 面积分 　　395

101 向量记号 　　397

102 高斯定理　　 399

103 斯托克斯定理 　　406

104 全微分条件　　 409

习题 　　413

第9 章 勒贝格积分 　　416

105 集合运算　　 416

106 加法集合类(? 系) 　　419

107 M 函数 　　420

108 集合的测度 　　424

109 积分 　　427

110 积分的性质 　　430

111 可加集合函数 　　438

112 绝对连续性和奇异性　　 441

113 欧式空间和区间的体积　　 444

114 勒贝格测度 　　446

115 零集合 　　451

116 开集合和闭集合 　　453

117 博雷尔集合 　　456

118 积分表示的集合测度 　　458

119 累次积分　　 463

120 与黎曼积分的比较 　　464

121 斯蒂尔切斯积分　　 466

122 微分定义　　 468

123 Vitali 覆盖定理　　 470

124 可加集合函数的微分 　　472

125 不定积分的微分　　 476

126 有界变差和绝对连续的点函数 　　477

附录I 无理数论 　　480

1 有理数分割 　　480

2 实数的大小 　　481

3 实数的连续性　　 482

4 加法　　 483

5 绝对值　　 485

6 极限 　　485

7 乘法　　 486

8 幂和幂根　　 488

9 实数集合的一个性质　　 488

10 复数　　 489

附录II 若干特殊曲线　　 491

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