线性代数及其应用导论

第0 章预备知识　　 1

I与微积分无关的预备知识　　 1

0.1 用直线上的点表示实数　　 1

0.2 用平面上的点表示实数对　　 1

0.3 极坐标　　 3

0.4 复数　　 4

0.5 复数的定义与代数性质　　4

0.6 复数作为实数的推广　　6

0.7 虚数单位i 　　 6

0.8 习题　　 　　 7

0.9 几何解释?模与辐角　　7

0.10 共轭复数　　 9

0.11 习题　　 　　 9

0.12 数学归纳法　　 10

0.13 习题　　 　　 12

0.14 必要条件和充分条件　　 12

II关于微积分的预备知识　　 13

0.15 导数概念　　 13

0.16 导数的基本性质　　 14

0.17 一些初等函数的导数　　 15

0.18 速度和加速度　　 15

0.19 面积问题与积分学的历史　　 　16

0.20 用积分法构造新函数　　 17

0.21 积分的基本性质　　 17

0.22 指数函数　　 18

0.23 复指数　　 19

0.24 复数的极坐标形式　　 20

0.25 幂级数和函数级数　　 21

0.26 习题　　 　　 22

第1 章向量代数　　 24

1.1 历史背景　　 24

1.2 实n 元组组成的向量空间　　 25

1.3 n 6 3 时n 维向量的几何描述　　 27

1.4 习题　　 　29

1.5 点积　　 　30

1.6 向量的模和范数　　 31

1.7 向量的正交　　 33

1.8 习题　　 　34

1.9 投影? n 维空间中向量的夹角　　 35

1.10 单位坐标向量　　 37

1.11 习题　　 　38

1.12 有限向量组的线性生成集　　 40

1.13 线性无关　　 41

1.14 基　　 　　 43

1.15 习题　　 44

1.16 复数的n 元组构成的向量空间Cn 　46

1.17 习题　　 47

第2 章向量代数在解析几何中的应用　　49

2.1 引言　　 　　 49

2.2 n 维空间中的直线　　 50

2.3 Rn 中直线的一些简单性质　　 51

2.4 n 维空间中的直线和向量值函数　　 52

2.5 三维空间和二维空间中的直线　　 　53

2.6 习题　　 　55

2.7 n 维欧氏空间中的平面　　 56

2.8 平面和向量值函数　　 59

2.9 习题　　 　　 59

2.10 R3 中两向量的叉积　　 61

2.11 用行列式表示叉积　　 63

2.12 习题　　 　　 65

2.13 纯量三重积　　 66

2.14 解三元线性方程组的Cramer 法则　　 68

2.15 习题　　 69

2.16 R3 中平面的法向量　　 70

2.17 R3 中平面的线性笛卡儿方程　　 72

2.18 习题　　 　　73

2.19 二次曲线　　 74

2.20 二次曲线的离心率77

2.21 二次曲线的极坐标方程78

2.22 习题　　 　　 79

2.23 一般二次曲线的笛卡儿方程　　 　80

2.24 关于原点对称的二次曲线　　 81

2.25 椭圆和双曲线在标准位置时的笛卡儿方程　　 82

2.26 抛物线的笛卡儿方程　　 84

2.27 习题　　 　　 85

2.28 关于二次曲线的综合性习题　　 　　 86

第3 章线性空间　　 88

3.1 引言　　 　　 88

3.2 线性空间的公理化定义　　 88

3.3 线性空间的实例　　 89

3.4 公理的简单推论　　 91

3.5 习题　　 　　 92

3.6 线性空间的子空间　　 93

3.7 线性空间的线性相关组和线性无关组　　 94

3.8 基与维数　　 97

3.9 分量　　 　　 98

3.10 习题　　 　　 99

3.11 内积?欧氏空间?范数　　 100

3.12 欧氏空间中的正交性　　 103

3.13 习题　　 　　 105

3.14 正交组的构造? Gram-Schmidt 方法　　 107

3.15 正交补?投影　　 111

3.16 用有限维子空间中的元素给出欧氏空间中元素的最优逼近　　 112

3.17 习题　　 114

第4 章线性变换?矩阵　　 115

4.1 线性变换　　 115

4.2 零化空间?值域　　 116

4.3 零化度?秩　　 117

4.4 习题　　 　　 119

4.5 线性变换的代数运算　　 120

4.6 逆　　 122

4.7 一一线性变换　　 124

4.8 习题　　 　　 125

4.9 基元素的象为指定值的线性变换　　 127

4.10 线性变换的矩阵表示　　 127

4.11 对角形矩阵表示的构造　　 132

4.12 习题　　 　134

4.13 矩阵组成的线性空间　　 135

4.14 线性变换与矩阵之间的同构　　 　136

4.15 矩阵的乘法　　 138

4.16 习题　　 　　 140

4.17 在线性方程组中的应用　　 142

4.18 计算技术? Gauss-Jordan消元法　　 144

4.19 方阵的逆　　 148

4.20 习题　　 　　 152

4.21 关于矩阵的综合性习题　　 153

第5 章行列式　　 155

5.1 引言　　 　　 155

5.2 行列式函数公理的选择　　 156

5.3 行列式函数的公理　　 157

5.4 对角矩阵的行列式　　 158

5.5 上三角形矩阵的行列式　　 159

5.6 用Gauss-Jordan 消元法计算行列式　　 160

5.7 行列式函数的唯一性　　 160

5.8 习题　　 　　 161

5.9 行列式的多重线性性　　 162

5.10 多重线性性的应用　　 164

5.11 行列式的乘积公式　　 165

5.12 非奇异矩阵的逆矩阵的行列式　　 166

5.13 行列式与向量组的线性无关性　　 166

5.14 分块对角矩阵的行列式　　 167

5.15 习题　　 　　 168

5.16 行列式关于余子式的展开式　　 169

5.17 余子式矩阵　　 170

5.18 Cramer 法则　　 171

5.19 行列式按子式的展开式　　 172

5.20 习题　　 　　 175

5.21 行列式函数的存在性　　 175

5.22 关于行列式的综合性习题　　 　178

第6 章特征值与特征向量　　 180

6.1 具有对角矩阵表示的线性变换　　 　180

6.2 线性变换的特征值与特征向量　　 　181

6.3 属于不同特征值的特征向量的线性无关性　　 183

6.4 习题　　 　184

6.5 有限维线性空间　　 185

6.6 三角化定理　　 186

6.7 特征多项式　　 189

6.8 有限维情形下特征值与特征向量的计算　　190

6.9 特征多项式根的积与和　　 193

6.10 习题　　 　194

6.11 表示同一个线性变换的矩阵?相似矩阵　　 195

6.12 习题　　 199

6.13 Cayley-Hamilton 定理　　 200

6.14 习题　　 　　 202

6.15 Jordan 标准型　　 203

6.16 关于特征值与特征向量的综合性习题　　 206

第7 章欧氏空间中线性变换的特征值　　 208

7.1 特征值与内积　　 208

7.2 Hermite 变换与斜Hermite变换　　 209

7.3 属于不同特征值的特征向量的正交性　　 210

7.4 习题　　 210

7.5 有限维空间中Hermite算子和斜Hermite 算子的标准正交特征向量组的存在性　　 　211

7.6 Hermite 算子与斜Hermite算子的矩阵表示　　 212

7.7 Hermite 矩阵和斜Hermite矩阵?伴随矩阵　　 213

7.8 Hermite 矩阵与斜Hermite矩阵的对角化　　 214

7.9 酉矩阵?正交矩阵　　 215

7.10 习题　　 　　 216

7.11 二次型　　 218

7.12 将实二次型化为对角形　　 220

7.13 对二次曲线的应用　　 221

7.14 习题　　 225

7.15 正定二次型　　 226

7.16 由二次型的值求对称变换的特征值　　 227

7.17 对称线性变换的极值性质　　 228

7.18 有限维情形　　 229

7.19 酉变换　　 230

7.20 习题　　 　　 233

7.21 作用在函数空间上的对称算子和斜对称算子　　 233

7.22 习题　　 　　 235

第8 章在线性微分方程中的应用　　 237

8.1 引言　　 　　 237

8.2 关于一阶与二阶线性微分方程的结果的回顾　　 238

8.3 习题　　 　　 239

8.4 n 阶线性微分方程　　 240

8.5 存在唯一性定理　　 241

8.6 齐次线性微分方程解空间的维数　　 242

8.7 常系数线性算子的代数　　 242

8.8 由算子的因式分解求常系数线性微分方程解的一组基　　 244

8.9 习题　　 　　 247

8.10 齐次方程与非齐次方程之间的关系　　 248

8.11 求非齐次方程的一个特解?参数变易法　　 249

8.12 齐次线性微分方程n 线性无关解的Wronski矩阵的非奇异性　　 252

8.13 求非齐次方程特解的特殊方法?化为一阶线性微分方程组　　 254

8.14 求非齐次微分方程特解的零化子方法　　 254

8.15 习题　　 　　 257

第9 章在微分方程组理论中的应用　　 　　260

9.1 引言　　 260

9.2 矩阵函数的微积分　　 262

9.3 矩阵幂级数?矩阵的范数　　 262

9.4 习题　　 　264

9.5 指数矩阵　　 265

9.6 etA 所满足的微分方程　　 265

9.7 矩阵微分方程F0(t) = AF(t)的解的唯一性定理　　 266

9.8 关于指数矩阵的指数定律　　 267

9.9 常系数齐次线性微分方程组的存在唯一性定理　　 268

9.10 在特殊情形下etA 的计算　　 269

9.11 习题　　 　　 273

9.12 计算etA 的Putzer方法　　 274

9.13 在特殊情形下计算etA的方法　　 277

9.14 习题　　 　　 279

9.15 常系数非齐次线性微分方程组　　 279

9.16 习题　　 　　 282

9.17 一般线性微分方程组Y 0(t)=P(t)Y (t)+Q(t)　　 283

9.18 求解齐次线性方程组的幂级数方法　　 286

9.19 习题　　 　287

第10 章逐次逼近法　　 288

10.1 引言　　 　　 288

10.2 在齐次线性方程组Y 0(t)= A(t)Y (t) 中的应用　　 288

10.3 逐次逼近序列的收敛性　　 289

10.4 用于一阶非线性方程组的逐次逼近法　　 292

10.5 一阶非线性方程组解的存在唯一性定理的证明　　 294

10.6 习题　　 　　 295

10.7 逐次逼近与算子不动点　　 297

10.8 赋范线性空间　　 297

10.9 收缩算子　　 298

10.10 关于收缩算子的不动点定理　　 299

?10.11 不动点定理的应用　　 301

习题解答　　 　　 304

索引　　 　　 328

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